Что такое математическое ожидание и как его посчитать...

Обязательно к прочтению:

Часть первая - Теория Вероятности наше ВСЁ

Часть вторая - Теория вероятности или "Готовимся к беттингу"

Часть третья - Знакомьтесь, Дисперсия или "Враг №1 в ставках"

И пока в инглиш сегменте творится частичное ПопаноБесие, мы продолжаем хоть немного просвещаться👨‍🎓 (школа садик беттинга так сказать)

Наконец-то подъехал дельный комментарий к прошлой статье, который я ручался разобрать "по косточкам". Это будет сделано в течении следующих постов, включая этот. Итак, поехали!

Дисперсия – это показатель вариации, который представляет собой средний квадрат отклонений от математического ожидания.

Что это такое - математическое ожидание? Математическое ожидание - средний ожидаемый профит от каждой ставки. Ожидаемый не значит гарантированный. То есть, матожидание приобретает значимый смысл на дистанции, при большом количестве ставок.

Посмотрите на два графика, где зафиксирован конечный баланс, после 100 подкидываний монетки, для трехста симуляций.

для нулевого матожидание

Простой пример положительного матожидания, смоделированный в excel, условия такие же, как и в статье про дисперсию, единственно маленькая поправочка, при выигрыше не +1 номинал, а +1.25 номинала.

для положительного матожилания

Как видно на первом графике, при нулевом матожидание, конечные балансы болтаются также плюс-минус около нуля. При положительном же матожидании, все еще проскакивают моменты, когда конечный баланс после 100 подкидываний меньше начального, спасибо Дисперсии. Не смотря на это, общий тренд прослеживается, как видно при положительном матожидании, конечные балансы, в большинстве своем, выше отметки начального баланса.

Как считать Математическое Ожидание (МО)

В ставках на спорт матожидание считается относительно просто по формуле:

M = (S*k – S) * W – S*L, где S - сумма ставки, k - коэффициент, W - вероятность выигрыша, L - вероятность проигрыша

Посчитаем математическое ожидание для последнего случая с монеткой, где:

S (сумма ставки) = 1

W, L (вероятности выигрыша/проигрыша) = 50% = 0.5

k (коэффициент, на который ставили) = 2.25

M = (1*2.25 - 1)*0.5 - 1*0.5 = +0.125 номинала

Иными словами, в среднем мы имеем, +0.125 номинала с каждой поставленной ставки.

Математическое Ожидание бывает разное


То, что мы рассмотрели выше, является "матожиданием суммы выигрыша", но существует классическое математическое ожидание дискретной случайной величины. Вкратце, применимо к ставкам, оно (матожидание благоприятных исходов) считается по формуле:

M = n*p, где n - количество ставок, p - вероятность единичного исхода

В случае с монеткой с нулевым матожиданием и 100 бросками, M = 0.5*100 = 50. В случае с монеткой с положительным матожиданием по каждому броску в +0.125 номинала, вероятность выпадания должна быть 56.25%, а коэффициент равен 2. Математическое ожидание по выигрышу с каждой ставки считается через математическое ожидание благоприятных исходов как:

Ms = (M*k - n)/n, где M - математическое ожидание благоприятных исходов (M=100*0.5625=56.25), k - коэффициент на событие, n - количество ставок.

M = (56.25*2.00 - 100)/100 = +0.125 номинала. Вот так одно математическое ожидание выразилось через другое. Самое время сделать перерыв и переварить полученную информацию, о роли и влиянии МО в беттинге будет рассказано во второй части.

Все что нужно осознать, что есть два вида МО, одно может быть выражено через другое, и основопологающую роль вероятности и коэффициента в формировании матожидания.

Теперь в конце, для релаксации, буду делиться, хорошей на мой взгляд музыкой.